CUADRO COMPARATIVO PARCIALES I, II y III

  Este cuadro comparativo tiene como finalidad el facilitar las ventajas así como desventajas de los métodos iterativos repasados a lo largo de este curso.

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Método 15: Runge - Kutta

 Uso: Mejorar la precisión sobre Euler en EDOs.

Fórmula (RK4): Usa 4 pendientes (k1, k2, k3, k4) para hacer promedio.

Características:

* Muy preciso

* Más cálculos por paso

Ejemplo de Método Runge - Kutta

Método 14: Método de Euler mejorado

 Uso: Aproximar soluciones de EDOs.

Fórmula: 

yn+1​=yn​+h⋅f(xn​,yn​)

Características:

* Fácil de usar

* Poco preciso si el paso ℎ es grande

Ejemplo Método de Euler mejorado

Método 13: Método de Romberg

Uso: Integración numérica.

Idea: Usa el método del trapecio con refinamiento de paso y extrapolación.

Características:

* Alta precisión

* Requiere muchas evaluaciones de la función

Ejemplo Método de Romberg

Método 12: Método de Simpson 1/3

Uso: Aproximar integrales definidas.

Fórmula: 

$\frac{h}{3} [f(x_0) + 4f(x_1) + f(x_2)]$

Características:

* Muy preciso para funciones suaves

* Solo funciona con número par de subintervalos

Ejemplo Método de Simpson 1/3

Método 11: Método del Trapecio

 Uso: Aproximar integrales definidas.

Fórmula: 2h​[f(x0​)+f(x1​)]

Características:

* Simple

* Menos preciso que Simpson

Ejemplo Método del Trapecio

Método 10: Diferencias Divididas (Newton)

 Uso: Interpolación (hallar polinomios que pasen por puntos conocidos).

Idea: Se construye un polinomio progresivo usando diferencias divididas.

Características:

* Permite agregar nuevos puntos sin rehacer todo

* Puede volverse complejo si hay muchos puntos

Ejemplo de Diferencias Divididas

Presentación Diferencias Divididas

CUADRO COMPARATIVO GLOBAL - Parcial I y II

 Este cuadro comparativo tiene como finalidad el facilitar las ventajas así como desventajas de los métodos iterativos repasados a lo largo del Parcial I y II.

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Método 9: Método de Regresión lineal Simple, Múltiple y Polinomial

 Método de Regresión lineal Simple, Múltiple y Polinomial

Se utilizan para encontrar relaciones entre variables y hacer predicciones.

• Regresión Lineal Simple:

  • Ajusta un modelo de la forma: $$y = mx + b$$
  • Se obtiene la pendiente $m$ y la intersección $b$ minimizando el error cuadrático medio.

• Regresión Múltiple:

  • Se extiende la regresión simple para múltiples variables independientes: $$y = b_0 + b_1 x_1 + b_2 x_2 + \dots + b_n x_n$$
  • Se usa en modelos con más de una variable predictora.

• Regresión Polinomial:

• Extiende la regresión lineal permitiendo términos de mayor grado: $$y = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n$$
• Se usa cuando la relación entre variables no es lineal.

Ejemplo de Regresión lineal (Simple) y Regresión Polinomial

Ejemplo de Regresión lineal Múltiple

Método 8: Método de Interpolación y Método de Lagrange

 Método de Interpolación y Método de Lagrange

• Método de Interpolación:

  • Busca encontrar una función $P(x)$ que pase exactamente por un conjunto de puntos dados $(x_i, y_i)$.
  • Existen varios tipos: interpolación lineal, cuadrática, cúbica, spline, etc.

• Interpolación de Lagrange:

• Usa un polinomio interpolador de la forma: $$P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i L_i(x)$$ donde $L_i(x)$ son los polinomios base de Lagrange: $$L_i(x) = \prod_{j \neq i} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$$
• Es útil cuando tenemos pocos datos y queremos evitar la resolución de sistemas de ecuaciones.

Ejemplo de Interpolación y Método de Lagrange

Método 7: Método de Montante

Método de Montante 

Es una versión mejorada del método de Gauss-Jordan para matrices. Su ventaja principal es que evita el uso de fracciones hasta el final, lo que reduce errores numéricos.

- Se usa para encontrar determinantes, resolver sistemas de ecuaciones y calcular la matriz inversa.

- Se transforma la matriz original en una forma escalonada, similar a Gauss-Jordan, pero utilizando reglas específicas de actualización sin fracciones intermedias. 

- Las operaciones se realizan mediante multiplicaciones y divisiones enteras para mantener estabilidad numérica.

Ejemplo método de Montante